矩陣零空間在電網分析中的應用

【文章摘要】

本文旨在表明矩陣理論在電網拓撲連接中的初步應用。通過考察轉置關聯矩陣的零空間，揭示零空間中的非零向量與電路分析中基爾霍夫定律的等價性，并以線性無關組來剔除網絡中的回路，為實際中屏蔽電路中的冗余回路提供了代數方法。

【關鍵詞】

關聯矩陣；零空間；基爾霍夫定律

0 引言

本文以一個圖為例，意在說明關聯矩陣零空間在電路分析中的表示方法和應用。假設電路圖為，其中代表4 個結點， 每個節點上可賦予一定的電勢；而代表5 條有向邊，這里表示從節點到節點的電流方向。在上面的5 條邊上，都可以賦予一定的權重，以示電流的大小。電路圖G 可下面的關聯矩陣表示:

其中，五行對應于E 中的5 條邊，比如第1 行表示電流從高電勢的節點 (+1) 流入低電勢節點 (-1) 的有向邊；而4 列則代表四個節點。

1 主要結果

考慮A 的轉置的零空間，其中的向量以表示，則有，

， (1)

將之具體展開，即，

， (2)

這四個方程簡潔地刻畫了電流的守恒。首先，第1 個方程說明，

，

亦即從節點流出的總電流必然等于流回這個節點的電流之和；對于第2 個方程，可以看到，流入的電流等于流出的電流；第三個方程意在說明，由第2 和第4 條邊并聯流入的電流之和等于流出的電流；而最后一個方程，表示流入的電流等于流出的電流.

上面的方程組表明，電網中的電流必須達到流入與流出的平衡狀態，即電流守恒。這就是基爾霍夫定律的主旨。

現在我們來求出方程(1) 的一組基， 也就是求出滿足上述電流守恒的一組電流數值。這樣我們就將電流守恒中的的電流計算轉化為一個齊次線性方程組的求解運算。

我們可以容易地得到一組基，即和，繼而得到的列向量的秩為3( 可參見[1])， 易知，其中的第1，第3 和第4 列可以構成一個組線性無關組，置于圖G 中來看，它代表了由第1，第3 和第4 條邊組成的無回路的樹結構，這是電網G 中剔除了所有回路后的結果。

線性無關與”無回路”之間聯系緊密， 可參考文獻[3] 作進一步深入了解。

2 結論

此文僅分析了節點和邊數都較少的電路情況，闡釋了矩陣表達電流走向的示意方法。可以設想，當電網復雜多變時，依靠直觀是極其困難的，因此，如何將之轉化為代數問題將會發現和解釋許多不易發覺的現象和問題。另外，上文的結果還可應用于物流管理以及計算機局域網連接等領域，對于矩陣分析理論問題的研究，也仍然是當今的一個熱點方向。

【參考文獻】

[1]R.Bellman.Introduction to matrix a n a l y s i s . N e w Y o r k , M c G r a w - H i l l Company,1960.

[2] 梁紹榮, 等. 基礎物理學. 北京: 高等教育出版社.2003.